Системы счисления: двоичная, шестнадцатеричная, двоично‑десятичный код (BCD)

1. Введение: зачем нужны разные системы счисления

В цифровой технике и программировании используются недесятичные системы счисления по следующим причинам:

• аппаратная реализация: электроника «понимает» только два состояния (0 / 1);
• компактность записи: шестнадцатеричная система сокращает длинные двоичные последовательности;
• совместимость с десятичной: BCD упрощает ввод‑вывод чисел для человека.

Ключевые понятия:

• основание системы (количество цифр): 2 (двоичная), 10 (десятичная), 16 (шестнадцатеричная);
• разряд (позиция цифры в числе);
• вес разряда (степень основания: bn).

2. Двоичная система счисления (base‑2)

2.1. Основы

• Алфавит: 0, 1.
• Основание: 2.
• Пример числа: 10112​.

Разложение по степеням двойки:

10112​=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20=8+0+2+1=1110​.

2.2. Свойства

• минимальное основание для цифровой логики;
• простота реализации (транзистор: открыт / закрыт);
• избыточность записи (длинная последовательность битов).

2.3. Операции в двоичной системе

• Сложение:1011+ 110111000​​ (11 + 13 = 24).
• Умножение:101× 11101101  1111​​ (5 × 3 = 15).

2.4. Применение

• внутренняя работа процессоров;
• хранение данных в памяти;
• логические схемы (вентили И, ИЛИ, НЕ).

3. Шестнадцатеричная система счисления (hex, base‑16)

3.1. Алфавит и правила записи

• Цифры: 0–9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).
• Обозначение: префикс 0x (например, 0xA3) или суффикс h (A3h).
• Пример: A316​=10⋅161+3⋅160=16310​.

3.2. Связь с двоичной системой

• 1 hex‑цифра = 4 бита (полубайт, nibble):
  • 016​=00002​;
  • F16​=11112​;
  • A16​=10102​.

Преобразование:

• B416​→1011 01002​;
• 1101 00112​→D316​.

3.3. Преимущества

• компактность: 0xFF вместо 11111111;
• удобство чтения для человека;
• стандартизация (адреса памяти, цвета RGB, дампы памяти).

3.4. Примеры использования

• адресация памяти (например, 0x8000);
• цветовые коды (#FF5733);
• отладка (шестнадцатеричные дампы);
• ассемблерные инструкции.

4. Двоично‑десятичный код (BCD, Binary‑Coded Decimal)

4.1. Принцип кодирования

• Каждая десятичная цифра (0–9) кодируется 4 битами (тетрадой).
• Два формата:
  1. Неупакованный BCD: 1 цифра = 1 байт (младшие 4 бита — цифра, старшие — 0).
  2. Упакованный BCD: 1 байт = 2 цифры (по 4 бита).

Примеры:

• Число 27:
  • неупакованный: 00000010 00000111;
  • упакованный: 00100111.
• Число 91:
  • упакованный: 10010001.

4.2. Допустимые и недопустимые комбинации

• Допустимы: 0000–1001 (0–9).
• Недопустимы: 1010–1111 (A–F) — ошибка в BCD.

4.3. Операции с BCD

• Сложение:
  1. Сложить двоичные тетрады.
  2. Если результат > 9 или есть перенос — добавить 6 (01102​).
  Пример: 5 + 7 = 12
  • двоично: 0101+0111=1100 (12₁₀);
  • коррекция: 1100+0110=1 0010 → 0001 0010 (12 в BCD).
• Вычитание: аналогично, но с вычитанием 6 при заёме.

4.4. Преимущества BCD

• точность при работе с десятичными дробями (нет ошибок округления, как в float);
• простой ввод‑вывод (калькуляторы, дисплеи);
• соответствие денежным расчётам (копейки, центы).

4.5. Недостатки

• избыточность (4 бита на цифру вместо ~3,32 бита теоретически);
• сложность арифметики (нужна коррекция);
• неэффективность для вычислений общего назначения.

4.6. Применение

• калькуляторы и кассовые аппараты;
• финансовые системы (валютные операции);
• цифровые часы и таймеры;
• интерфейсы с семисегментными индикаторами.

5. Сравнение систем счисления

Параметр	Двоичная	Шестнадцатеричная	BCD
Основание	2	16	10 (кодируется двоично)
Алфавит	0,1	0–9,A–F	0–9 (по 4 бита)
Компактность	Низкая	Высокая	Средняя
Удобство для человека	Низкое	Высокое	Высокое (для десятичных чисел)
Аппаратная сложность	Минимальная	Средняя	Средняя (нужна коррекция)
Типичное применение	Логика, память	Адреса, дампы	Финансы, индикация

6. Алгоритмы перевода между системами

6.1. Десятичное → двоичное

• Деление на 2 с остатком.
  Пример: 25₁₀ → ?₂
• 25 ÷ 2 = 12 (ост. 1)
• 12 ÷ 2 = 6 (ост. 0)
• 6 ÷ 2 = 3 (ост. 0)
• 3 ÷ 2 = 1 (ост. 1)
• 1 ÷ 2 = 0 (ост. 1)
  → 110012​.

6.2. Двоичное → десятичное

• Сумма степеней двойки.