Цифровая фильтрация сигналов: КИХ и БИХ‑фильтры

1. Введение: зачем нужна цифровая фильтрация

Цифровая фильтрация — обработка дискретных сигналов с целью выделения, подавления или преобразования определённых частотных составляющих. В отличие от аналоговых фильтров, цифровые работают с отсчётами сигнала, представленными в числовой форме.

Ключевые задачи:

• удаление шума (помехозащита);
• выделение полезных частот (селекция);
• сглаживание данных (антиалиасинг);
• коррекция амплитудно‑частотных характеристик (АЧХ);
• подготовка сигналов к анализу (например, перед БПФ).

Области применения:

• аудиообработка (эквалайзеры, шумоподавление);
• телекоммуникации (канальные фильтры);
• биомедицинская техника (обработка ЭКГ/ЭЭГ);
• управление (фильтрация датчиков);
• радиолокация и связь (демодуляция).

2. Основные понятия и терминология

2.1. Дискретный сигнал

• Последовательность отсчётов x[n], взятых с периодом Ts​=1/Fs​, где Fs​ — частота дискретизации.
• Спектр дискретного сигнала периодичен с периодом Fs​.

2.2. Импульсная характеристика h[n]

• Реакция фильтра на единичный импульс (δ‑функцию).
• Полностью определяет свойства линейного фильтра.

2.3. Передаточная функция H(z)

• Z‑преобразование импульсной характеристики:H(z)=n=−∞∑∞​h[n]z−n
• Позволяет анализировать устойчивость и частотные свойства.

2.4. Частотная характеристика

• Амплитудно‑частотная характеристика (АЧХ): ∣H(ejω)∣.
• Фазочастотная характеристика (ФЧХ): ∠H(ejω).
• ω=2πf/Fs​ — нормализованная частота.

3. Классификация цифровых фильтров

3.1. По виду импульсной характеристики

• КИХ‑фильтры (FIR, Finite Impulse Response) — конечная импульсная характеристика.
• БИХ‑фильтры (IIR, Infinite Impulse Response) — бесконечная импульсная характеристика.

3.2. По частотным свойствам

• низкочастотные (НЧ);
• высокочастотные (ВЧ);
• полосовые;
• режекторные (заграждающие).

3 prepared. По фазовым характеристикам

• с линейной ФЧХ (КИХ);
• с нелинейной ФЧХ (БИХ).

4. КИХ‑фильтры (FIR)

4.1. Принцип работы

• Выход y[n] вычисляется как взвешенная сумма текущих и прошлых отсчётов входа:y[n]=k=0∑N−1​bk​x[n−k] где:
  • N — порядок фильтра (число коэффициентов);
  • bk​ — коэффициенты фильтра.
• Импульсная характеристика: h[k]=bk​ для k=0,…,N−1; иначе 0.

4.2. Свойства

• Устойчивость — гарантирована (нет обратных связей).
• Линейная ФЧХ — возможна при симметричных коэффициентах.
• Фазовое запаздывание — постоянное для всех частот.
• Вычислительная сложность — растёт с порядком N.

4.3. Методы синтеза

• Оконное преобразование (Windowing):
  • умножение идеального отклика на оконную функцию (Хэмминга, Блэкмана и др.);
  • простой, но не оптимальный метод.
• Метод частотной выборки (Frequency Sampling):
  • задание желаемой АЧХ на сетке частот;
  • обратное ДПФ для получения коэффициентов.
• Оптимизационные методы (например, алгоритм Паркса‑Макклеллана):
  • минимизация ошибки в полосе пропускания/заграждения;
  • даёт оптимальные по Чебышёву фильтры.

4.4. Примеры оконных функций

• Прямоугольное окно — максимальный «лепесток», но большие боковые выбросы.
• Хэмминга — снижение боковых лепестков до −41 дБ.
• Блэкмана — боковые лепестки до −58 дБ, но шире главный лепесток.

4.5. Реализация

• Прямая форма — по формуле выше.
• Каскадная форма — разбиение на секции 2‑го порядка (для снижения ошибок округления).
• Частотная область — свёртка через БПФ (эффективно при N>64).

5. БИХ‑фильтры (IIR)

5.1. Принцип работы

• Используют обратную связь: выход зависит от прошлых значений выхода и входа:y[n]=k=0∑M​bk​x[n−k]−k=1∑N​ak​y[n−k]
• Передаточная функция в Z‑области:H(z)=1+∑k=1N​ak​z−k∑k=0M​bk​z−k​

5.2. Свойства

• Бесконечная импульсная характеристика — теоретически h[n]=0 при n→∞.
• Высокая эффективность — малый порядок при крутых склонах АЧХ.
• Нелинейная ФЧХ — фазовое запаздывание зависит от частоты.
• Устойчивость — требует проверки (корни знаменателя внутри единичного круга).

5.3. Методы синтеза

• Аналоговая прототипирование + билинейное преобразование:
  1. Проектирование аналогового фильтра (например, Баттерворта, Чебышёва).
  2. Преобразование в цифровой с помощью билинейного отображения:s=Ts​2​⋅1+z−11−z−1​
• Прямое размещение нулей и полюсов — задание H(z) вручную.
• Оптимизация по критерию (например, минимизация интегральной ошибки).

5.4. Типы БИХ‑фильтров

• Баттерворта — максимально гладкая АЧХ в полосе пропускания.
• Чебышёва I типа — равноволновые выбросы в полосе пропускания, крутой спад.
• Чебышёва II типа — равноволновые выбросы в полосе заграждения.
• Эллиптический — равноволновые выбросы в обеих полосах, самый крутой спад.

5.5. Реализация

• Прямая форма I/II — канонические структуры.
• Каскадная (последовательная) — цепочка секций 2‑го порядка (рекомендуется для практики).
• Параллельная — сумма секций, удобна для анализа.

6. Сравнение КИХ и БИХ

Параметр	КИХ	БИХ
Устойчивость	Всегда устойчива	Требуется проверка
Фазовая характеристика	Линейная (при симметрии)	Нелинейная
Вычислительная сложность	Высокая (много умножений)	Низкая (малый порядок)
Задержка	Постоянная	Переменная
Крутизна АЧХ	Умеренная	Очень крутая
Память	Требуется хранить N отсчётов	Требуется хранить меньше отсчётов
Применение	Аудио, анализ сигналов	Управление, телекоммуникации

7. Практические аспекты реализации

7.1. Выбор типа фильтра

• КИХ: если критична линейная ФЧХ или устойчивость.
• БИХ: если важна эффективность и крутой спад АЧХ.

7.2. Квантование коэффициентов

• Ошибки округления могут нарушить устойчивость БИХ.
• Рекомендации:
  • использовать каскадную форму;
  • увеличивать разрядность коэффициентов;
  • проверять устойчивость после квантования.

7.3. Ограничение разрядности данных

• Переполнение при суммировании — применять масштабирование.
• Шумы округления — учитывать при проектировании.

7.4. Начальная установка

• Для БИХ — обнуление задержек перед запуском.
• Для КИХ — заполнение буфера нулями.

8. Примеры применения