1. Введение
Операционные усилители (ОУ) благодаря высокой линейности, большому коэффициенту усиления и гибкости в схемах с обратной связью позволяют реализовывать базовые математические операции над аналоговыми сигналами:
- суммирование — сложение нескольких сигналов с весовыми коэффициентами;
- интегрирование — вычисление интеграла входного сигнала по времени;
- дифференцирование — определение производной входного сигнала.
Эти схемы составляют основу аналоговых вычислительных устройств, фильтров, систем управления и измерительной техники.
2. Сумматоры на ОУ
2.1. Принцип работы и базовая схема
Сумматор (или аддер) складывает несколько входных напряжений с заданными весами. В основе — инвертирующий усилитель с несколькими входами.
Ключевые допущения (для идеальной модели ОУ):
- входные токи = 0;
- потенциал инвертирующего входа ≈ 0 В («виртуальная земля»);
- коэффициент усиления → ∞.
2.2. Инвертирующий сумматор
Схема:
- несколько входных резисторов R1,R2,…,Rn, подключённых к инвертирующему входу;
- резистор обратной связи RОС между выходом и инвертирующим входом;
- неинвертирующий вход заземлён.
Вывод формулы:
- Ток через каждый входной резистор: Ii=Vi/Ri.
- Суммарный ток в точке «виртуальной земли»: Iсум=∑Ii.
- Этот ток течёт через RОС: Vвых=−Iсум⋅RОС.
- Итого:
Vвых=−RОС(R1V1+R2V2+…+RnVn).
Особенности:
- знак «−» означает инверсию суммы;
- веса сигналов задаются отношениями RОС/Ri;
- при R1=R2=…=Rn=RОС получаем Vвых=−(V1+V2+…+Vn).
2.3. Неинвертирующий сумматор
Схема:
- входные сигналы подаются на неинвертирующий вход через резистивный делитель;
- обратная связь — как в неинвертирующем усилителе.
Коэффициент усиления суммы:
Vвых=(1+R1R2)⋅Vсум,
где Vсум — напряжение на неинвертирующем входе, определяемое делителем.
Недостатки:
- сложность балансировки весов;
- взаимное влияние входов;
- реже применяется, чем инвертирующая схема.
2.4. Практические аспекты
- Количество входов: ограничено входными токами и шумами ОУ.
- Точность: зависит от допусков резисторов (рекомендуется ±0,1–1 %).
- Диапазон входных напряжений: не должен вызывать насыщение ОУ.
- Экранирование: для слабых сигналов — защита от наводок.
3. Интеграторы на ОУ
3.1. Принцип интегрирования
Интегратор вычисляет:
Vвых(t)=−RC1∫0tVвх(τ)dτ+Vнач,
где Vнач — начальное напряжение на конденсаторе.
3.2. Базовая схема
Компоненты:
- входной резистор R;
- конденсатор C в цепи обратной связи;
- неинвертирующий вход заземлён.
Работа:
- Входной ток I=Vвх/R заряжает конденсатор.
- Напряжение на конденсаторе: VC=C1∫Idt.
- Выходное напряжение: Vвых=−VC (из‑за инверсии).
3.3. Передаточная функция
В частотной области (s=jω):
H(s)=−sRC1.
Это соответствует идеальному интегратору.
3.4. Реальные ограничения и компенсации
- Смещение нуля: постоянный входной ток или напряжение смещения ОУ вызывают дрейф выходного напряжения.
Решение: периодическая разрядка конденсатора ключом или добавление резистора Rпаралл параллельно C. - Ограниченная полоса пропускания: на высоких частотах усиление падает.
- Насыщение: при длительном интегрировании Vвых достигает пределов питания.
- Компенсирующий резистор Rпаралл:
- ограничивает низкочастотное усиление;
- задаёт нижнюю граничную частоту: fн=2πRпараллC1.
3.5. Пример расчёта
Дано: интегрировать сигнал 1 В в течение 1 мс, Vвых=−1 В.
Решение:
- Из Vвых=−RC1∫Vвхdt:RC=∣Vвых∣∫Vвхdt=1 В1 В⋅1 мс=1 мс.
- Выбираем C=100 нФ, тогда R=10 кОм.
- Для компенсации дрейфа: Rпаралл=1 МОм (чтобы fн≈1,6 Гц).
3.6. Применение
- аналоговые вычислители;
- генераторы пилообразного напряжения;
- фильтры низких частот;
- системы автоматического регулирования (ПИ‑регуляторы).
4. Дифференциаторы на ОУ
4.1. Принцип дифференцирования
Дифференциатор вычисляет производную:
Vвых(t)=−RC⋅dtdVвх(t).
4.2. Базовая схема
Компоненты:
- конденсатор C на входе;
- резистор R в цепи обратной связи;
- неинвертирующий вход заземлён.
Работа:
- Ток через конденсатор: I=C⋅dtdVвх.
- Этот ток создаёт падение напряжения на R: Vвых=−I⋅R.
- Итого: Vвых=−RC⋅dtdVвх.
4.3. Передаточная функция
H(s)=−sRC.
Это соответствует идеальному дифференциатору.
4.4. Реальные ограничения и компенсации
- Усиление высокочастотных шумов: на высоких частотах H(s) растёт → шум усиливается.
Решение: добавить резистор Rпосл последовательно с C. - Ограниченное быстродействие ОУ: скорость нарастания (SR) ограничивает максимальную dV/dt.
- Фазовые сдвиги: могут вызывать нестабильность.
- Компенсирующий резистор Rпосл:
- ограничивает усиление на высоких частотах;
- задаёт верхнюю граничную частоту: fв=2πRпослC1.
4.5. Пример расчёта
Дано: дифференцировать сигнал с dV/dt=1 В/мс, получить Vвых=−1 В.
Решение:
- Из $
